Kenneth J. Arrow F. H.
Hahn
Introducción histórica
7. La estructura de la
determinación de los precios y la unicidad del equilibrio
La
tradición es algo mucho más importante. No puede heredarse, y si se
desea debe obtenerse con grandes sacrificios.
-T. S. Eliot.
Tradition and the Individual Talent.
Gran parte de
este libro se ocupa del análisis de una economía idealizada,
descentralizada. En particular, se supone que en lo fundamental hay
competencia perfecta y que las elecciones de los agentes económicos
pueden deducirse de ciertos axiomas de racionalidad. Sólo
recientemente se ha vuelto posible un examen más o menos completo y
riguroso de esta construcción, en proceso desde hace mucho tiempo.
Nos proponemos
hacer una exposición sistemática del tema. Al recorrer este camino,
se puso en claro que podría atravesarse una cantidad considerable de
territorio intelectual inexplorado sin sacrificar los objetivos
básicamente expositivos del trabajo; por el contrario, en muchos
casos la superación de lagunas da un aspecto más sistemático al
conjunto. Igualmente, en la mayoría de los casos hemos ofrecido
pruebas nuevas de los resultados conocidos en la teoría del
equilibrio competitivo.
En las notas
que se encuentran al final de cada capítulo se anotan los
reconocimientos de prioridades; no hemos tratado de elaborar
historias detalladas, sino sólo de presentar el primer enunciado
importante de cada resultado. Los teoremas del texto no citados en
los notas son, o tan bien conocidos que la referencia habría
resultado pedante, o bien son originales de los autores de este
libro hasta donde nosotros sabemos.
El libro es
estrictamente un esfuerzo conjunto, y ambos autores son responsables
de todos los errores. En el acto de la redacción, cada autor tuvo la
responsabilidad inicial de cada capítulo, que luego se sometió a las
críticas y enmiendas reiteradas del otro; en varios casos, el
proceso de aproximación pasó por varias etapas. Este proceso habría
continuado, sin duda, si los autores no hubiesen aprendido por
amarga experiencia que el tiempo en que se da la recontratación
coincide de hecho con el tiempo real. Arrow escribió los borradores
iniciales de los capítulos 1 y 3-8, y los apéndices matemáticos B y
C; Hahn escribió los borradores de los capítulos 9-14 y el apéndice
matemático A. Ambos autores escribieron secciones del capítulo 2
Hay necesidad
de advertir que no nos ocuparemos de ciertos tópicos que algunos
lectores esperarían encontrar; tales tópicos se han omitido para
mantener dentro de límites razonables el alcance físico e
intelectual del libro y para preservar alguna apariencia de unidad
en el enfoque. (1) Hemos omitido todo examen de los mercados con un
continuo de participantes, un estudio que a nuestro juicio tiene
gran importancia potencial, introducido en años recientes por Aumann
y proseguido por Debreu, Hildenbrand, Vind y las jóvenes escuelas
belga e israelí. Este trabajo requiere el empleo de la teoría de la
medición, lo que habría constituido una adición formidable a los
requisitos de matemáticas avanzadas que ya exigimos de nuestros
lectores. Sin embargo, en los capítulos 7 y 8 hemos tratado de
avanzar hasta donde sea posible en esta dirección sin el empleo de
la teoría de la medición. (2) Dado que hacemos hincapié en el
equilibrio general de la economía, no nos hemos ocupado en forma
detallada de teoremas específicos de las teorías de la empresa y la
unidad familiar; sólo analizamos los resultados que requiere el
examen del equilibrio general. Esto significa también que nos hemos
contentado con basar la teoría de la unidad familiar en el supuesto
de un ordenamiento de las preferencias, y no hemos examinado la
literatura creciente que basa esta teoría en alguna forma del
supuesto de las preferencias reveladas. (3) Nos hemos abstenido
también de desarrollar la economía del bienestar, a excepción de
algunos teoremas que intervienen, a la vez y en alguna forma, en la
teoría descriptiva del equilibrio general. Se espera que otros
volúmenes de esta serie de textos sobre economía matemática y
econometría se ocupen de las teorías de la empresa y la unidad
familiar, y de la economía del bienestar. (4) Sólo nos ocupamos en
la forma más superficial de la extensión de la teoría del equilibrio
general en cuanto a la situación de incertidumbre, en el capítulo 5.
Por una parte, la economía de la incertidumbre es un tópico amplio
que no puede tratarse aquí en forma adecuada; por la otra, la teoría
del equilibrio general se encuentra todavía en etapa temprana del
desarrollo.
Es natural y
justificado que nos preguntemos si esta investigación de una
economía aparentemente tan alejada del mundo real es algo que valga
la pena. Podemos contestar en la forma acostumbrada, llamando la
atención sobre la naturaleza enormemente compleja del material que
estudian los economistas y sobre la necesidad correspondientemente
urgente de simplificación y, por tanto, de abstracción. Pero ello
dejaría sin respuesta la duda acerca de por qué hayan de ser
apropiadas las simplificaciones particulares aquí utilizadas.
Nuestra
respuesta es algo diferente. Ya es larga y bastante respetable la
serie de economistas que, desde Adam Smith hasta el presente, han
tratado de demostrar que una economía descentralizada, motivada por
el interés individual y guiada por señales de los precios, sería
compatible con una disposición coherente de los recursos económicos,
que podría considerarse, en un sentido bien definido, mejor que un
gran número de disposiciones alternativas posibles. Además, las
señales de precios operarían en cierta forma para establecer este
grado de coherencia. Es importante entender cuán sorprendente deber
ser esta afirmación para cualquiera que no se haya expuesto a esta
tradición. La respuesta inmediata, “de sentido común”, al
interrogante: “¿Cómo sería una economía motivada por la ambición
individual y controlada por un número muy grande de agentes
diferentes?”, sería probablemente ésta; habría caos. El hecho de que
una respuesta enteramente diferentes haya sido proclamada como
cierta desde antiguo y haya impregnado en realidad el pensamiento
económico de gran número de personas que en modo alguno son
economistas, es motivo suficiente para investigarla seriamente. Una
vez planteada la proposición y considerada muy seriamente, se hace
importante saber, no sólo si la misma es cierta, sino también
si ella podría ser cierta. Buena parte de lo que sigue se
refiere a esta última cuestión, que en nuestra opinión merece la
atención de los economistas.
Si se ha
encontrado la confirmación de la proposición antes mencionada en una
formalización particular de la economía, se vuelve luego interesante
la determinación de la fuerza de este resultado. ¿Sobrevivirá el
mismo si cambiamos el supuesto de una economía perfectamente
competitiva por el de otra de competencia imperfecta? ¿Será
destruido por las economías externas, por irracionalidades
evidentes, tales como la de “juzgar la calidad por el precio”, o por
la falta de suficientes “mercados de futuros” y el papel especial
que podría asumir el medio de cambio? En lo que sigue se sugerirán
algunas respuestas a estas cuestiones. Por supuesto, subsistirán
otros interrogantes. Pero lo importante es esto: no basta con
afirmar que, si bien es posible inventar un mundo donde resulten
justificadas las pretensiones de la “mano invisible”, tales
pretensiones fallan en el mundo real. Debe mostrarse cómo las
características del mundo, consideradas esenciales en toda
descripción del mismo hacen imposible también la justificación de
aquellas pretensiones. Al tratar de contestar el interrogante
“¿podría ser cierto?”, aprenderemos mucho acerca de por que podría
no ser cierto.
Así pues,
opinamos que exista una teoría de la economía descentralizada
intelectualmente desafiante, que ha sido tomada en serio y lo sigue
siendo, y por tanto merece el escrutinio lógico más cuidadoso.
Hemos prestado
aquí también cierta atención a la posibilidad de utilizar las
construcciones idealizadas para comparar economías diferentes. En
general, concluimos que los postulados son demasiado débiles para
permitirnos avanzar mucho. Esto puede tomarse como demostración de
la deficiencia de la teoría. Pero también puede tomarse como
demostración de su fuerza, ya que sugiere que se han dejado grados
de libertad suficientes para que la información empírica no influya
en el pronóstico; no es una construcción totalmente a priori.
Nota sobre las convenciones de
notaciones y referencias cruzadas
Todos los
vectores aparecen en negrita; los componentes de un vector tienen el
mismo símbolo que éste, pero en cursiva y se distinguen entre sí por
subíndices. Por ejemplo, si X es un vector, y x i es su
componente número i. Cuando el contexto es claro, no se utiliza
ninguna notación especial para distinguir los vectores de hilera de
los vectores de columna. Por ejemplo, en el producto interior
xy se da por sentado que x es un vector de
hilera e y es un vector de columna. La notación para las
desigualdades de vectores es la siguiente:
x >
y significa xi > yi, para
todo i;
x > y
significa xi > y i, para todo
i, xi, > yi por los menos para una i;
y
x > y
significa xi > yi para todo i.
Generalmente
indicamos un conjunto con una letra mayúscula en bastardilla. Una
suma vectorial de conjuntos de vectores se indica por un signo
ordinario de sumatoria. Un producto cartesiano de conjunto de
vectores se indica por X; en ambos casos, los subíndices indican la
extensión de la suma. Por ejemplo, si para cada índice f, y
Yf es un conjunto de vectores de producción posibles, su suma
vectorial, el conjunto de posibilidades de producción social, se
indica por f Yf, mientras que su producto
cartesiano, que es el conjunto de posibles asignaciones de la
producción, se denota por Xf Yf. Un
conjunto definido como un producto cartesiano de una familia de con
índices de conjuntos con una letra en cursiva, se designa con la
correspondiente letra mayúscula manuscrita; por ejemplo y
= Xf Yf, y todo elemento del mismo, con la
correspondiente letra minúscula manuscrita; por ejemplo, y es un
miembro típico de y.
Si un conjunto
se define por alguna propiedad de sus miembros se escribe con
llaves, donde el elemento típico del conjunto se anota primero,
seguido, tras una línea vertical, por la propiedad en cuestión. Por
ejemplo, A={x|x} >0 es el conjunto de
todos los vectores X con la propiedad de que todos sus
elementos son no negativos y por lo menos uno es positivo.
Un par de
llaves que encierran un solo vector denota el conjunto consistente
en ese vector solo; por ejemplo, {x0}. Si A y B
son conjuntos A ~B denota la diferencia de teoría de conjuntos entre
A y B, o sea el conjunto de todos los elementos de
A que no se encuentran también en B.
Las matrices
se denotan generalmente con letras mayúsculas en cursivas o se
presentan por paréntesis alrededor de elemento típico. Por ejemplo,
(xij) es la matriz X cuyo elemento típico
es xij. La transportación se denota con una prima.
En cada
capítulo se encontrará la notación detallada.
Introducción histórica
Este es el
uso de la memoria para liberación...
La Historia
puede ser servidumbre,
La Historia
puede ser libertad...
-T. S.
Eliot, Little Gidding
1. Los economistas clásicos
Hay dos
aspectos básicos, imposibles de separar por completo, de la noción
del equilibrio general tal como se ha utilizado en la economía: la
noción simple de la determinación, en que las relaciones que
describen el sistema económico deben ser suficientemente completas
para determinar lo valores de sus variables, y la noción más
específica de que cada relación representan un equilibrio de
fuerzas. Generalmente, pero no siempre, se interpreta esta última
noción en el sentido de que una violación de cualquier relación pone
en movimiento fuerzas que tienden a restaurarla (se ha demostrado
que esta hipótesis no implica la estabilidad de todo el sistema). En
cierto sentido, casi todo intento de elaboración de una teoría de
todo el sistema económico implica la aceptación de la primera parte
de la noción de equilibrio; y la “mano invisible” de Adam Smith es
una expresión poética de lo más fundamental en las relaciones de
equilibrio económico; la igualación de las tasas de rendimiento,
impuesta por la tendencia de los factores a trasladarse desde los
rendimientos bajos hasta los altos.
La noción del
equilibrio (“peso igual”), con referencia a la condición de
equilibrio de una balanza con pivote en el centro) era familiar en
la mecánica por mucho antes de la publicación de La riqueza
de las naciones en 1776, y con ella la noción de que los efectos
de una fuerza pueden destruirlo (por ejemplo, el agua que busca su
propio nivel), pero no es evidente que Smith haya obtenido sus ideas
de alguna analogía con la mecánica. Cualquiera que sea la fuente del
concepto, la noción de que un sistema social movido por acciones
independientes en búsqueda de valores diferentes es compatible con
un estado final de equilibrio coherente, donde los resultados pueden
ser muy diferentes de los buscados por los agentes; es in duda la
contribución intelectual más importante que ha aportado el
pensamiento económico al entendimiento general de los procesos
sociales.
Smith percibió
también la implicación más importante de la teoría general del
equilibrio; la capacidad de un sistema competitivo para obtener una
asignación de recursos eficiente en algún sentido. Sin embargo, no
se encuentra en Smith nada que parezca un argumento riguroso,
siquiera una presentación cuidadosa de la proposición de la
eficiencia.
Así pues,
puede sostenerse que Smith fue el creador de la teoría del
equilibrio general, aunque pueda ponerse en duda la coherencia y
consistencia de su trabajo. A fortiori, los posteriores
expositores sistemáticos del sistema clásico, como Ricardo, Mill y
Marx, cuyo trabajo subsanó algunas de las lagunas lógicas del de
Smith, pueden ser considerados como los primeros expositores de la
teoría del equilibrio general. En algunos sentidos, Marx se aproximó
más a la teoría moderna en cuanto a la forma en su esquema de la
reproducción simple (El Capital, vol. II), estudiada en
combinación con su desarrollo de la teoría de los precios relativos
(vol. I y III), que cualquiera otro economista clásico, aunque lo
confunda todo en su intento de mantener
simultáneamente una teoría pura del valor trabajo y una igualación
de las tasas de rendimiento del capital.
Sin embargo,
hay un sentido muy importante en que ninguno de los economistas
clásicos tenía un verdadera teoría general del equilibrio: ninguno
de ellos asignó un papel explícito a las condiciones de la demanda.
Sin duda, los pensadores más sistemáticos del grupo, de modo muy
particular J.S. Mill, rindieron homenaje verbal al papel de la
demanda y la influencia de los precios sobre ella, pero no hubo una
integración genuina de la demanda con el carácter de la teoría
clásica esencialmente centrado en la oferta. Los supuestos
simplificadores especiales hechos en relación con la oferta
facilitaron ese desentendimiento de la demanda. Una teoría del
equilibrio general es una teoría acerca de las cantidades y los
precios de todos los bienes. Sin embargo, los autores clásicos
descubrieron que los precios parecían estar determinados por un
sistema de relaciones derivadas de la condición de la tasa igual de
beneficio, donde no intervenían las cantidades. Esto es bastante
claro como se suponen coeficientes de producción fijos y un solo
factor primario, el trabajo, como en el famoso intercambio de Smith
de venados y castores; y la demostración de Malthus y Ricardo de que
podría incluirse la tierra en el sistema constituyó una gran hazaña.
Si, por último, los supuestos malthusianos acerca de la población
implicaban que el precio de oferta del trabajo estaba fijo en
términos de bienes, podría determinarse hasta la tasa de rendimiento
del capital (aunque la presencia del capital como factor productivo
y perceptor de remuneraciones constituyó claramente un embarazo para
los autores clásicos, como los sigue siendo hasta cierto punto en
nuestros días); en realidad, con el supuesto malthusiano volvió a
tener el modelo un solo factor primario; la tierra.
Así pues, en
cierto sentido definido, los economistas clásicos no tuvieron una
teoría verdadera de la asignación de recursos, ya que no se estudió
la influencia de los precios sobre las cantidades y se negó la
influencia recíproca. Pero la teoría clásica no pudo responder al problema lógico
de la explicación de lo salarios relativos de tipos heterogéneos de
trabajo, ni al problema empírico de la explicación de los salarios
que subían sostenidamente por encima del nivel de subsistencia. En
ese contexto surgieron las teorías neoclásicas alrededor de 1870,
con todos los recursos primarios ocupando el papel que antes había
desempeñado la tierra por sí sola.
(Para ser
justo con los economistas clásicos, debemos recordar que la teoría
del comercio internacional en la forma que le dio Mill fue una
teoría genuina de equilibrio general. Desde luego, los supuestos
formulados fueron muy restrictivos, en particular el de la
inmovilidad de los factores).
2. Las contribuciones
de Walras
El
reconocimiento pleno del concepto del equilibrio general puede
atribuirse sin lugar a dudas a Walras [1874, 1877], aunque W.
Stanley Jevons y Carl Menger habían elaborado en forma independiente
muchos elementos del sistema neoclásico. El sistema económico se compone de unidades familiares y
empresas. Cada unidad familiar posee un conjunto de recursos, bienes
útiles en la producción o el consumo, incluyendo diversas clases de
trabajo o mano de obra. En consecuencia, para todo conjunto dado de
precios una unidad familiar tiene un ingreso derivado de la venta de
sus recursos, y con este ingreso pude escoger entre todos los
conjuntos alternativos de bienes de consumo cuyo coste, a los
precios dados, no supere el ingreso de la unidad familiar. Así pues,
la demanda de cualquier bien de consumo hecha por las unidades
familiares es función de los precios de los bienes de consumo y de
los recursos. Se supuso (por lo menos en las primeras versiones) que
las empresas operaban bajo coeficientes fijos. Luego la demanda de
bienes de consumo determinaba la demanda de recursos, y los
supuestos combinados de los coeficientes fijos y de los beneficios
iguales a cero en un sistema competitivo implicaban las relaciones
entre los precios de los bienes de consumo y de los recursos. Así
pues, un conjunto de precios de equilibrio era un
conjunto tal que la oferta y la demanda se igualaran en cada
mercado; bajo el supuesto de coeficientes de producción fijos, o en
términos más generales, de rendimientos constantes a escala, esto
equivalía a igualar la oferta y la demanda en los mercados de
recursos, cuando los precios debían satisfacer la condición de
beneficios iguales a cero para todas las empresas. El trabajo
posterior de Walras, J. B. Clark, Wicksteed y otros, generalizó los
supuestos relativos a la producción para incluir métodos
alternativos, expresados en una función de producción. Las
consideraciones de la productividad marginal ayudaron a determinar
los precios de los recursos. La existencia de un conjunto de precios
de equilibrios se sostuvo con base en la igualdad del número de
precios por determinar con el número de ecuaciones que expresan la
igualdad de la oferta y la demanda en todos los mercados. Ambos son
iguales al número de bienes, digamos n. En esta cálculo
Walras reconoció que había dos complicaciones (a) Sólo los precios
relativos afectan el comportamiento de las unidades familiares y las
empresas; por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene sólo n-1
variables, lo que Walras expresó seleccionando un bien para que
sirviera como muméraire, mientras que los precios de todos
los bienes se median en relación con el precio de este numerario.
(b) El equilibrio presupuestario de cada unidad familiar entre el
ingreso y el valor del consumo, y la condición de beneficio nulo de
las empresas, implican en conjunto lo que ha dado en llamarse la ley
de Walras: el valor de mercado de la oferta es igual de la demanda
para cualquier conjunto de precios, no sólo para el conjunto de
equilibrio; por lo tanto, las relaciones de oferta-demanda no son
independientes. Si la oferta iguala a la demanda en n-1
mercados, la igualdad debe existir en el mercado n. Walras
fue más allá y examinó la estabilidad del equilibrio, esencialmente
por primera vez ( es decir, aparte de algunas alusiones breves de
Mill en el contexto del comercio internacional) en su famosa pero
más bien oscura teoría de los tâtonnemments (literalmente
“tentaleos” o “avances a tienta”). Supongamos, como hizo Walras, un
conjunto de precios dado arbitrariamente: entonces la oferta puede
superar a la demanda en algunos mercados y ser menor que ella en
otros (a menos que el conjunto inicial sea en realidad el conjunto
de equilibrio, deberá haber por lo menos un caso de cada una de esas
situaciones, por la ley de Walras). Supongamos que los mercados se
consideran en algún orden definido. En el primer mercado, ajustemos
el precio de modo que se igualen la oferta y la demanda, dados todos
los demás precios; esto requerirá normalmente que se eleve el precio
si inicialmente la demanda superaba a la oferta; que se baje en caso
contrario. El cambio del primer precio cambiará la oferta y la
demanda en todos los demás mercados. Repitamos el proceso con el
segundo y los demás mercados. Al final de la primera vuelta, el
último mercado estará en equilibrio, pero ninguno de los demás lo
estará necesariamente porque los ajustes de los mercados
subsecuentes destruirán el equilibrio logrado en cualquiera de
ellos. Sin embargo. argüía Walras, las funciones de oferta y demanda
de cualquier bien dado se verán más afectadas por los cambios de su
propio precio que por los de otros precios; en consecuencia, tras de
una vuelta los mercados deberán estar más cerca del equilibrio que
al principio, y tras de vueltas sucesivas tenderán a la igualdad la
oferta y la demanda en cada mercado. Parece claro que Walras no
supuso literalmente que los mercados alcancen el equilibrio en algún
orden definido. Más bien, la historia es una forma conveniente de
exposición del modo en que el sistema de mercado podría resolver en
realidad el sistema de las relaciones de equilibrio. El sistema
dinámico, mejor dicho, afirmaba que en todo mercado sube el precio
cuando la demanda supera a la oferta y baja en el caso contrario;
debe suponerse también que los cambios de precios ocurren en forma
simultánea en los diversos mercados. Por último, Walras buscaba un
objetivo todavía más elevado con su análisis del equilibrio general:
quería estudiar lo que ahora se llama estática comparativa;
en otras palabras las leyes de variación de los precios y cantidades
de equilibrio al variar los datos básicos (recursos, condiciones de
la producción, o funciones de utilidad). Pero en realidad se avanzó
poco en esa dirección.
3. Edgeworth y Pareto:
racionalidad de grupo y asignación
A partir de la
mano invisible de Adam Smith, los economistas clásicos sostuvieron
que el equilibrio competitivo producía lo que en algún sentido no
muy bien definido constituía una asignación óptima de los recursos.
Edgeworth [1881] y Pareto [1909, p. 534] aclararon de modo
considerable la relación existente entre los equilibrios
competitivos y las asignaciones óptimas, partiendo de estas últimas.
Edgerworth
consideró dos individuos, con recursos iniciales de dos bienes, que
estaban tratando de realizar una transacción entre sí. No supuso que
estuviesen operando bajo las reglas del juego competitivo, sino que
podrían hacer cualquier tipo de transacción que desearan. Supuso que
(a) no harían una transacción si hubiese alguna otra forma más
beneficiosa para ambos, y (b) que ninguno de ellos realizaría una
transacción que lo colocase en situación peor que antes. Demostró
que había todo un conjunto de asignaciones, que llamó la curva de
contrato, que satisfacían estas condiciones, uno de los cuales
era el equilibrio competitivo. Luego supuso que, en lugar de dos
individuos, había dos tipos de individuos, y que todos los
individuos de cada tipo tenían la misma función de utilidad y la
misma dotación de recursos iniciales. Generalizó los supuestos
anteriores acerca de las condiciones del intercambio satisfactorio;
no se complementaría el intercambio multilateral entre los
participantes mientras hubiese algún subconjunto de ellos que
pudiesen hacer alguna transacción entre sí, utilizando sólo su
propios recursos que los beneficiase más que en el intercambio
propuesto inicialmente. Esta condición generaliza los supuestos (a)
y (b) anteriores. Luego llegó a la conclusión notable de que al
aumentar el número de individuos de cada tipo se reducía el conjunto
de intercambios posibles en la dirección del equilibrio competitivo.
En consecuencia, un proceso de negociación general resulta una
relación con el equilibrio general competitivo.
La
contribución especial de Pareto es una definición adecuada de la
asignación óptima de los recursos, esencialmente la satisfacción de
la condición (a) de la curva de contrato de Edgeworth. Reconoció,
pero no demostró en forma rigurosa, que en su sentido siempre podría
alcanzarse un óptimo como un equilibrio competitivo a partir de
alguna asignación inicial de recursos adecuada.
4. Análisis del
equilibrio parcial
Cournot [1838]
y más tarde Jenkin [1870] y los economistas neoclásicos utilizaron
ampliamente el análisis de equilibrio parcial de un solo mercado. La
demanda y la oferta de un solo bien se conciben como funciones del
precio de ese bien solamente; el precio de equilibrio es aquél en
que igualen la demanda y la oferta. Esta forma de análisis debe
contemplarse como un instrumento pedagógico para aprovechar la
facilidad de la representación gráfica de relaciones de una sola
variable, o como una primera aproximación al análisis del equilibrio
general. La existencia de un mercado supone que debe haber, por lo
menos, un bien aparte del que se comercia en ese mercado, ya que un
precio debe expresarse como la tasa a que un individuo da algo a
cambio del bien en cuestión. Si realmente sólo hubiese un bien en el
mundo, no habría intercambio ni mercado.
Supongamos por
el momento que sólo hay dos bienes, digamos el 1 y el 2. A causa de
la homogeneidad, la demanda y la oferta se determinan por la razón
del precio del bien 1 al precio del bien 2,o sea el precio del bien
2 cuando el bien 2 es el numerario. Según la ley de Walras, el
equilibrio en el mercado 1 asegura el equilibrio en el mercado 2. El
análisis de equilibrio parcial del mercado 1, en el caso de dos
bienes, equivale enteramente al análisis del equilibrio general.
El análisis de
un mundo de dos bienes puede tener considerable utilidad didáctica
en el estudio del equilibrio general mediante un caso especial que
admita una representación diagramática sencilla, pero podríamos
preguntarnos si el análisis del equilibrio parcial tiene algún
interés empírico en un mundo de muchos países. El tema siguiente,
elaborado en forma independiente por Hicks [1939] y Leontief [1936],
aporta una respuesta: si los precios relativos de algún conjunto de
bienes permanece constante, para todos los fines analíticos el
conjunto puede considerarse como un solo bien compuesto, cuyo precio
puede considerarse proporcional al precio de cualquier miembro del
conjunto y cuya cantidad se define luego en forma tal que el gasto
(precio por cantidad) en el bien compuesto sea igual a la suma de
los gastos en los bienes individuales del conjunto. En símbolos, si
los precios, P1...,Pm,
de un conjunto de bienes 1,..., m satisfacen
las condicionespi =Ppi (Pi es una constante para cada i,
mientras que p puede variar), podemos considerar p como el precio
del bien compuesto, y piqi como la cantidad, de donde qi es la
cantidad del bien i.
El teorema de
agregación de Hicks-Leontief puede utilizarse para justificar el
análisis de equilibrio parcial. Supongamos que un cambio en el
precio del bien 1 deje constantes los precios relativos de todos los
demás bienes. Entonces, mientras sólo consideramos las
perturbaciones del equilibrio debidas a causas peculiares al mercado
del bien 1, los bienes restantes pueden considerarse como un solo
bien compuesto, y el análisis del equilibrio parcial será válido.
El supuesto de
la constancia estricta de los precios relativos de los demás bienes
no será generalmente válido, desde luego, pero en muchos casos de
interés práctico puede resultar aproximado. Para ello basta que los
cambios de los precios relativos de los demás bienes inducidos por
un cambio del precio del bien que se estudia, no induzcan a su vez a
una modificación significativa de las condiciones de la oferta y la
demanda del mercado de dicho bien.
5. Desarrollos ocurridos durante los
años treinta y después: existencia y carácter único
Los siguientes
adelantos verdaderamente importantes se lograron apenas en los años
treinta. Hubo dos corrientes claras de pensamiento: una iniciada en
la literatura de habla alemana y preocupada primordialmente con la
existencia y el carácter único del equilibrio; la otra, expresada
fundamentalmente en inglés, preocupada con la estabilidad y la
estática comparativa. La primera principió por examinar a fondo la
simplificación hecha por Cassel [1924] del sistema de Walras, caso
interesante de un trabajo que en sí mismo no tenía importancia pero
cuyo estudio resultó extraordinariamente fructífero. Cassel supuso
dos clases de bienes: los productos que intervienen en las funciones
de demanda de los consumidores y los factores que utilizan para
producir los productos (no se consideraron los bienes intermedios).
Cada producto se genera por factores con coeficientes de
insumo-producto constantes. Se suponen totalmente inelásticas las
ofertas de factores. Sea aij la cantidad del factor i
utilizada en la producción de una unidad del producto j, xj
la producción total de producto j, vi la oferta inicial
total del factor i, pj, el precio del producto j, y ri,
el precio del factor i. entonces, la condición de que la
demanda sea igual a la oferta de todos los factores de expresa así.
aij
xj-vi para todo i,
(1)
mientras que
la condición de que cada producto se produzca con beneficios nulos
se expresa
aij
ri=pj para todo j.
(2)
El sistema se completa con las
ecuaciones que relacionan la demanda de productos con sus precios y
con el ingreso total derivado de la venta de los factores. Hay en
total tantas ecuaciones como incógnitas. Pero en tres ensayos
virtualmente simultáneos de Zeuthen [1932], Neisser [1932] y von
Stackelberg [1933] se demostró en formas diferentes que el problema
de la existencia de un equilibrio significativo es más complicado
que la igualdad de ecuaciones e incógnitas. Neisser hizo notar que
aún con valores perfectamente verosímiles de los coeficientes de
insumo-producto aij, los precios o cantidades
que satisfacen (1) y (2) podrían ser negativos. Von Stackelberg
advirtió que (1) constituye un sistema completo de ecuaciones en los
productos xj, dado que las ofertas de factores, vi,
son datos, pero no se había supuesto nada acerca de los números de
factores o bienes distintos. En particular, si el número de bienes
fuese menor que el de factores, la ecuación (1) no tendría solución
en general.
Zeuthen reconsideró el significado de
la ecuación (1). Recordó que los economistas, por lo menos desde
Carl Menger, habían reconocido que algunos factores (como en el
aire) son tan abundantes que no se cobraría por ellos. Estos no
entrarían en la lista de factores del sistema de Cassel. Pero
Zeuthen argumentó entonces que la división de factores en libres y
escasos no debería tomarse como dada a priori. Por lo tanto, sólo
podemos decir que el uso de un factor no debe exceder su oferta,
pero se es menor que tal oferta, el factor será libre. En símbolos,
sustituimos (1) por
a ij x j
< vi
si se da desigualdad estricta,
tendremos
ri
=O. (1')
Para una generación posterior de
economistas familiarizados con la programación lineal y sus
generalizaciones, el significado de este paso no requiere
elaboración; las igualdades son reemplazadas por desigualdades y se
introduce la noción vital de los sobrantes complementarios de
cantidades y precios.
Independiente de Zeuthen, Schlesinger,
un banquero y economista aficionado vienés, llegó a la misma
conclusión. Pero fue mucho más allá, y en forma intuitiva captó la
idea crucial de que la sustitución de igualdades por desigualdades
resuelve también los problemas planteados por Neisser y por von
Stackelberg. Schelesinger [1933-34] advirtió la complejidad
matemática de un tratamiento riguroso, y a petición suya Oskar
Morgenstern le puso en contacto con un joven matemático. Abraham
Wald. El resultado de su colaboración fue el primer análisis
riguroso del equilibrio competitivo general. En una serie de ensayos
[1933-34, 1934-35] (véase en resumen en Wald [1936, 1951]), Wald
demostró la existencia del equilibrio competitivo en varios modelos
alternativos, incluyendo el de Cassel y un modelo de puro
intercambio. Se definió el equilibrio competitivo en el sentido de
Zeuthen, y en las matemáticas aparece claro el papel esencial
desempeñado por esa definición en la justificación de la existencia.
Los ensayos de Wald tenían una
profundidad matemática inaccesible, no sólo por cuanto al empleo de
herramientas refinadas, sino también por la complejidad del
argumento. Cuando los economistas matemáticos los conocieron
gradualmente, sirvieron quizá tanto para inhibir con su dificultad
las nuevas investigaciones como para estimularlas.
Finalmente se tuvo el auxilio de una
línea de investigación relacionada; la teoría de los juegos de John
Von Neumann (primer ensayo básico publicado en 1928; véase a Von
Neumann y Morgenstern [1944]. Esta relación histórica entre la
teoría de los juegos y el equilibrio económico tiene elementos
paradójicos. La teoría de los juegos ha desarrollado varias nociones
de equilibrio muy generales que, en principio, deberían remplazar la
noción del equilibrio competitivo o incluirla como un caso especial.
Una noción tal de equilibrio, la del núcleo, es idéntica a la
curva de contrato de Edgeworth; la introdujo Gillies [1953] y la
aplicó Shubik [1959] a situaciones específicamente de mercado, y
Scarf [1962] (Véase el Capítulo 8) en forma mucho más cercana al
pensamiento económico común. El estímulo principal de la teoría de
los juegos a la teoría del equilibrio ha provenido de las
herramientas matemáticas desarrolladas en aquélla y aplicadas en
ésta con interpretaciones totalmente diferentes. El propio Von
Neumann hizo la primera de tales aplicaciones en su afamado ensayo
sobre el crecimiento económico equilibrado [1937, 1945]. En este
modelo no había funciones de demanda, sólo de producción. Los
mercados debían estar en equilibrio en cada período en el sentido de
Zeuthen, pero más allá se encontraba el equilibrio en un segundo
sentido que podría llamarse equilibrio estacionario. La
configuración del equilibrio debía ser la misma de un período a
otro. Para probar la existencia del equilibrio, Von Neumann demostró
que cierta razón de formas bilineales tenía un punto nulo, lo que
constituía una generalización del teorema que probaba la existencia
del equilibrio en los juegos de dos personas de suma cero. Pero en
la teoría de los juegos las variables del problema son
probabilidades (de escoger estrategias alternativas), mientras que
en la aplicación a la teoría del equilibrio un conjunto de variables
era el de los precios y el otro el de los niveles de las actividades
productivas.
Von Neumann dedujo su teorema del
punto nulo a partir de una generalización del teorema del punto fijo
de Brouwer, una proposición famosa en topología. El matemático
Shizuo Kakutani presentó años después un versión simplificada del
teorema de Von Neumann, y el teorema de Kakutani ha sido la
herramienta básica virtualmente en la totalidad del trabajo
posterior (en el Apéndice Matemático C se encuentran enunciados y
pruebas de los teoremas de Brouwer y Kakutani). Con estos
fundamentos, más la influencia del rápido desarrollo de la
programación lineal tanto en el campo de las matemáticas (de nuevo
relacionado estrechamente con los teoremas del punto nulo) como en
el de la economía[4]
varios académicos percibieron en forma independiente que ahora se
podían obtener teoremas de existencia más simples y generales que
los de Wald. Los primeros ensayos fueron los de McKenzie [1954] y
Arrow y Debreu [1954]. Luego vinieron las aportaciones de Hukukane
Nikaidô [1956] e Hirofumi Uzawa, Debreu y McKenzie [1959,1961]. La
exposición sistemática más completa de las condiciones de existencia
se encuentra en Debreu [1959]; la versión más general se encuentra
también en Debreu [1962].
6.
Desarrollo durante los treinta y después: estabilidad y estática
comparativa
Zi
la demanda excedente (demanda menos oferta) del bien i,
en general es función de P1,...,Pn'
los precios de los n bienes. Entonces, la
definición de la estabilidad de Hicks era equivalente a la condición
de que los menores principales de la matriz, cuyos elementos fuesen
zi / pj tuviesen determinantes que
fuesen positivos o negativos, según el número de hileras o columnas
incluidas fuese par o non. Hicks trató también de derivar
conclusiones de estática comparativa acerca de la respuesta de los
precios ante cambios de las funciones de demanda. Los teoremas
actualmente aceptados llegan a las mismas conclusiones, aunque a
partir de las premisas diferentes.
Samuelson formuló la definición de
estabilidad ahora aceptada. Argumentó que la misma debe basarse en
un modelo dinámico explícito relativo al comportamiento de los
precios cuando el sistema está en desequilibrio. Formalizó el
supuesto implícito de Walras y de la mayoría de sus sucesores; el
precio de cada bien aumenta en forma proporcional a la demanda
excedente de ese bien. Este supuesto define un sistema de ecuaciones
diferenciales; si todos los caminos que satisfacen el sistema y
parten suficientemente cerca del equilibrio convergen hacia el
mismo, el sistema será estable. Samuelson pudo demostrar que la
definición de Hicks no es necesaria ni suficiente para la suya, y
que el sistema económico es estable si los efectos de ingreso sobre
el consumo son suficientemente pequeños. Propuso un principio de
correspondencia general, en el sentido de que todos los teoremas
significativos de la estática comparativa derivan de las condiciones
de segundo orden relativas a la elevación al máximo de los
beneficios por parte de las empresas o de la utilidad por parte de
los consumidores, o bien del supuesto de que el equilibrio observado
es estable. En realidad, de este principio se pueden derivar muy
pocas proposiciones útiles
La tendencia actual en materia de
estática comparativa y estabilidad se originó en el trabajo de Mosak
[1944] y de Metzler [1945]. No se ha hecho hincapié precisamente en
el principio de correspondencia de Samuelson, sino que se ha tendido
más bien a formular hipótesis acerca de las funciones de demanda
excedente que implican a la vez estabilidad y ciertos resultados en
el campo de la estática comparativa.
7. La estructura de la determinación de los precios y la unicidad
del equilibrio
A partir de 1948 se ha desarrollado
un análisis más detallado de las relaciones existentes entre los
precios de los factores y los precios de los bienes producidos. En
estos análisis suele suponerse que (a) cada bien es un factor
original o un bien producido, pero no ambas cosas y (b) no hay
producción conjunta; o sea, que cada proceso de producción tiene
exactamente un producto, aunque puede tener varios insumos.
El caso en que se supone, además, que
la producción ocurre en condiciones de coeficientes fijos, genera un
análisis relativamente sencillo. La condición de beneficio nulo en
todos los procesos conduce a un sistema de ecuaciones lineales. En
el caso sencillo en que todos los insumos son factores originales,
los precios de los bienes que se produzcan en cualquier cantidad
positiva se relacionan con los precios de los factores por las
ecuaciones (2) (Sección 1.5). Adviértase que si sólo hay un bien
primario los coeficientes tecnológicos determinan los precios
relativos de todos los bienes. Por otra parte, si el número de
factores no excede el número de bienes producidos y si la matriz (aij)
tiene un orden igual al número de factores (igual al número de
hileras), los precios de los factores se determinan en forma única
por los precios de los bienes.
Estas conclusiones obvias tienen
generalizaciones muy considerables. Las primeras extensiones se
aplicaron el caso en que hay bienes intermedios, o sea bienes
producidos, que se utilizan como insumos en la producción de bienes
(Leontief [1941]). Considérese de nuevo sólo los bienes producidos
en alguna cantidad positiva de modo que la condición de beneficio
nulo exista en cada proceso productivo. Sea ahora aij
la cantidad del bien producido i utilizada en la producción
de una unidad del bien j, y sea bkj,
la cantidad factor del original k utilizada en la
producción de una unidad del bien j. Como antes, sea
pj el precio del bien producido j,
y sea vk el precio del factor
original k. Entonces las condiciones de beneficio nulo
se escriben:
pj - pi aij
= vk bkj
o en la notación de matrices y
vectores.
p = pA = vB,
(3)
donde p y v son los
vectores con componentes pj y vk,
respectivamente y entonces (3) puede escribirse
p(I-A)=vB,
(4)
y, si I-A es no singular,
p = vB
(I-A)- 1. (5)
Por lo tanto los precios de los
factores determinan los precios de los bienes, en particular, si
sólo hay un factor original, sigue siendo cierto que los precios
relativos de los bienes producidos se determinan completamente por
los coeficientes técnicos, independientemente de la demanda.
También, si el orden de la matriz B es igual al número de factores
(hileras), puede verse por (4) que los precios de lo bienes
determinan en forma única los precios de los factores.
Debe hacerse notar que los precios de
los bienes determinados por (4) son necesariamente no negativos si
los precios de los factores lo son, y si se satisface una condición
natural en A. Específicamente, se sigue de las
definiciones de A y B. y del supuesto de
que no hay una producción conjunta, que los elementos de A
y B son no negativos. Supóngase ahora que el sistema
es productivo en el sentido de que es posible producir la cantidad
positiva de cada bien producida si no consideramos las limitaciones
debidas a escasez de los factores: en símbolos, existe una vector no
negativo X tal que AX “X (es
decir, cada componente de AX es menor que el
componente correspondiente de X) Se sigue entonces de una
teoría matemática de Perron y Frobenius bien conocida: que la matriz
I-A es no singular y que los elementos
de (I-A) son no negativos. Para V no negativo,
vB es no negativo, y por lo tanto p=vB (I-A)-
1 es no negativo (véase una exposición de esta cuestión en Karlin
[1959, vol. I páginas 245-246 y 256-258]; la teoría matemática puede
verse en Karlin [1959, Vol. I pp. 246-256] o en el Apéndice
Matemático A).
Trabajos realizados desde 1948 han
demostrado que estas relaciones entre los precios de los bienes y de
los factores pueden generalizarse al caso de métodos alternativos de
producción (pero se conserva la hipótesis de ausencia de producción
conjunta). Samuelson [1951] y Georgescu-Roegen [1951] demostraron
que con un factor primario sigue siendo cierto que la tecnología
determina los precios relativos de bienes producidos,
independientemente de las condiciones de la demanda. En cierto
sentido, esto es una resurrección sorprendente de la teoría clásica,
donde las condiciones de la oferta determinan por sí solas los
precios. Dado que la producción competitiva siempre reduce los
costes al mínimo, se sigue que la técnica escogida realmente para la
producción de cualquier bien es también independiente de las
condiciones de la demanda, aunque en general dependerá de las
condiciones tecnológicas existentes en otras industrias. En la
Sección 2.11 se encontrará una explicación más amplia.
Samuelson [1948, 1953-54] estudió las
condiciones de la determinación de los precios de los factores por
los precios de los bienes; el problema surgió en el contexto del
comercio internacional, que según se supone iguala los precios de
los bienes entre países. En realidad, la cuestión de las condiciones
bajo las cuales los precios de los bienes determinan los precios de
los factores en un caso especial de las condiciones de la unicidad
de los precios del equilibrio general, específicamente el caso en
que la demanda de los bienes es perfectamente elástica.
En general no hay necesidad de que el
equilibrio sea único, y ya desde Marshall se han conocido ejemplos
no de unicidad. Wald [1936] inició el estudio de las condiciones
suficientes para la unicidad del equilibrio competitivo. Desde
entonces, sus dos condiciones suficientes alternativas se han
convertido en grandes temas de la literatura: el axioma débil de la
preferencia revelada se da en las funciones de la demanda de
mercado, o todos los bienes son sustitutos aproximados.
Gale y Nikaidô [1965] corrigieron un
error contenido en las condiciones de Samuelson para la
determinación de los precios de las factores; además, aportaron la
base matemática de un teorema de unicidad muy general, que en
particular pluraliza la condición de Wald de la sustituibilidad
aproximada .
